LÓGICA PROPOSICIONAL E INFORMÁTICA

LA INFERENCIA

Concepto.- Es un proceso deductivo que consiste en derivar una conclusión de una o varias premisas. La inferencia es una estructura de proposiciones.

Formalización y Validez de una Inferencia.- Para formalizar y determinar la validez de una inferencia es necesario cumplir con los siguientes pasos:

1) Reconocer las premisas y la conclusión.

2) Las premisas se distinguen porque generalmente se presentan entre signos de puntuación o por el sentido que lleva el enunciado.

3) La conclusión se reconoce porque generalmente está precedida de los términos: “por lo tanto”, “en consecuencia”, “luego”, “de ahí”, “en tal sentido” y otros análogos.

4) Para unir las premisas entre sí debe utilizarse el operador Conjuntivo. Mientras que para unir a la conclusión las premisas debe utilizarse el operador Condicional.

(P1 Ù P2 Ù P3) ® C

5) Para determinar si la inferencia es válida se debe aplicar la tabla de valores al esquema o fórmula resultante y si resulta una Tautología, la inferencia será válida.

Ejemplo:

Si trabajas entonces tendrás dinero. Si tienes dinero entonces tendrás éxito. En consecuencia si trabajas tendrás éxito

Formalizando: [ (p ® q) Ù (q ® r) ] ® ( p ® r)

Aplicando la tabla veritativa comprobaremos que es una tautología y en consecuencia es una Inferencia Válida.

Ejercicios:

1. Si Ana es universitaria entonces es investigadora. Pero, Ana no es investigadora. Por lo tanto, no es universitaria.

Simbolizando:

Ana es universitaria = p

Ana es investigadora = q

Formalizando : [(p ® q) Ù ~ q] ® ~ p

Desarrolle:

P	q	[(p ® q) Ù ~ q] ® ~ p
V	V		F
V	F		F
F	V		F
F	F		V

La inferencia es : ___________________

2. Como es hora laborable, se concluye que en el juzgado hay jueces y testigos, dado que, si es hora laborable, en el juzgado hay jueces, y hay testigos si en el juzgado hay jueces:

Simbolizando:

Es hora laboral = p

En el juzgado hay jueces = q

En el juzgado hay testigos = r

Formalizando : _____________________________

Tabla de Valores:

p q r

La inferencia es: ___________________________

PRINCIPIOS LOGICOS TRADICIONALES

Los principios lógicos son fundamentos lógicamente válidos que se expresan en fórmulas tautológicas-. Tradicionalmente son tres: Principio de Identidad, Principio de No Contradicción, Principio del Tercero Excluido.

Enunciaremos los comunes:

1. Principio de Identidad.- “Una proposición es verdadera si y solo si es Verdadera” ( p « P ) Este Principio se fundamenta en la expresión: “una proposición es idéntica a sí misma”.

También se formula “Una proposición se implica a si misma” (p ® p).

2. Principio de No Contradicción.- “Es imposible que una proposición sea verdadera y no sea verdadera a la vez” ~ (p Ù ~ p).

3. Principio del Tercero Excluido.- “Una proposición o es verdadera o es falsa, no existe una tercera posibilidad” (p Ú ~ p).

EJERCICIOS

A qué principios lógicos corresponden los siguientes enunciados:

1. José María Arguedas fue escritor o no fue escritor_________________________

2. El verano es caluroso si y sólo si el verano es caluroso______________________

3. No es el caso que un presidente gobierne y no gobierne_____________________

4. Es imposible que llueva y no llueva a lavez______________________________

5. Rubén estudia o trabaja o es imposible que estudie y trabaje_______________

De las infinitas tautologías, algunas son útiles pues generan un conjunto de reglas lógicas para efectuar operaciones. Estas tautologías son conocidas como leyes lógicas del sistema. Cada ley lógica tiene su respectiva regla lógica que permite la operación.

Las leyes de la Lógica pueden agruparse en equivalencias e implicaciones notables o tautológicas.

EQUIVALENCIAS NOTABLES O TAUTOLÓGICAS

Equivalencia.- («) Se dice que una Fórmula “A” es equivalente a una Fórmula “B” cuando unidas por el operador Bicondicional o Equivalente resulta una Tautología. Ejemplo:

EQUIVALENCIAS TAUTOLÓGICAS:

1) Doble Negación.- (DN) “Si negamos una proposición dos veces, se concluye en la proposición inicial”.

Su simbolización será ~ ~ p

Ejemplo: No es verdad que no somos invitados

Equivale: Somos invitados

2) Conmutación.- (Conm.) Si los conjuntivos, disyuntivos y bicondicionales

permutan sus respectivos componentes, sus equivalentes significan lo mismo.

a) (p Ùq) ↔ (q Ù p)

Ejemplo: La pizarra es negra y la tiza blanca

Equivale: La tiza es blanca y la pizarra es negra

b) (p v q) ↔ (q V p)

Ejemplo: Estas preocupado o estas enfermo

Equivale: Estas enfermo o estás preocupado

c) (p ↔ q) ↔ (q ↔ p)

Ejemplo: Anibal viajará a la Argentina si y sólo si obtiene su visa

Equivale: Anibal obtiene su visa si y sólo si viajará a la Argentina

3. Idempotencia.- (Idem) Las variables redundantes en una cadena de conjuntivos

o dsyuntivos se eliminan.

a) (p Ù p) ↔ p

Ejemplo: Mariela estudia. Y Mariela trabaja y estudia

Equivale: Mariela estudia y trabaja

b) (p v p) ↔ p

Ejemplo: Manuel estudia o Manuel trabaja o estudia

Equivale: Manuel estudia o trabaja

4. De Morgan.- (D.M.) Se niegan las proposiciones conjuntivas o disyuntivas y las

cambiamos. La conjunción por la disyunción o la disyunción por la conjunción,

negando cada uno de los componentes.

a) (p Ù q) ↔ ~(~ p v ~q)

Ejemplo: En invierno nieva y hace frio

Equivale: No es el caso que en invierno no nieva o no haga frio

b) (p V q) ↔ ~(~p Ù ~q)

Ejemplo: Hace frío o helada

Equivale: No es el caso que no haga frio y no haga helada

c) ~(p Ù q) ↔ ~p V ~ q

Ejemplo: No es el caso que Estefano estudie y juege

Equivale: Estefano no estudia o no juega

d) ~ (p Ú q) ↔ (~p Ù ~ q)

Ejemplo: No es el caso que viajes al sur o te quedes en el Rimac

Equivale: O no viajes al sur y no te quedes en el Rimac

5. Las Definiciones del Condicional.- (Def. Cond.)

a) Es la definición del esquema condicional por medio del disyuntivo. Se niega el antecedente (p) y el condicional (→) cambia por el disyuntivo (V)

(p → q) ↔ (~p v q)

Ejemplo: Si Kant es un filósofo entonces es idealista

Equivale: Kant no es un filósofo o es un idealista

b) Es la definición del esquema condicional por medio del conjuntivo. Se niega

toda la expresión y el esquema condicional se cambia por el conjuntivo a la

vez que se niega el consecuente.

(p → q) ↔ ~(p Ù ~q)

Ejemplo: Si Rosa gana el concurso de pintura entonces viajará a Europa

Equivale: No es posible que Rosa gane el concurso de pintura y no viaje a

Europa.

6. Las Definiciones del Bicondicional (Def. Bicond.)

a) Indica que un esquema bicondicional puede transformarse en dos condicionales donde uno de los miembros implica a otro y viceversa.

(p ↔ q) ↔ (p → q) Ù (q → p)

Ejemplo: Una figura geométrica tiene tres ángulos si y sólo si es un triángulo

Equivale: Si una figura geométrica tiene tres ángulos entonces es un triángulo y si es un triángulo entonces es una figura geométrica que tiene tres ángulos.

b) Indica que un esquema bicondicional puede transformarse en una disyunción

de conjunciones afirmando los dos componentes conjuntamente o negando los dos componentes también conjuntamente.

(p ↔ q) ↔ (p Ù q) Ú (~p Ù ~q)

Ejemplo: Un número es positivo si y sólo si es mayor que cero.

Equivale: Un número es positivo y es mayor que cero, o un número no es positivo y no es mayor que cero.

IMPLICACIONES NOTABLES O TAUTOLÓGICAS

Implicación.- (®). Se dice que una Fórmula “A” implica a una Fórmula “B” cuando unidas por el operador implicativo o condicional resulta una Tautología.

Las Formas Válidas de Razonamiento son fórmulas tautológicas, son inferencias “modelo”, que son empleadas generalmente como reglas. Las principales son:

1) Modus Ponendo Ponens.- (MP) Si se afirma el antecedente de una premisa

condicional, se concluye con la afirmación del consecuente”. Ejemplo:

P 1 Si haces ejercicios físicos entonces tendrás fatiga p ® q

P 2 Haces ejercicios p

_______________________________________ _____

C \ Tendrás fatiga. \ q

2) Modus Tollendo Tollens.- (MT) “Si se niega el consecuente de una premisa

condicional, se concluye en la negación del antecedente”. Ejemplo:

P 1 Si la Filosofía es una ciencia entonces es verificable p ® q

P 2 La Filosofía no es verificable ~ q

_______________________________________ _____

C \ La filosofía no es una ciencia \~ p

3) Silogismo Disyuntivo.- (SD) “Si negamos uno de los miembros de una premisa

disyuntiva, se concluye en la afirmación del otro miembro”. Ejemplo:

P 1 Aristóteles es filósofo o literato p Ú q

P 2 Aristóteles no es literato ~ q

_______________________________________ _____

C\ Aristóteles es filósofo \ p

4) Silogismo Hipotético Puro.- (SHP) “Si se presentan dos premisas condicionales

donde el consecuente de la primera es el antecedente de la segunda, entonces se

concluye en un condicional donde el antecedente es: el antecedente de la primera

y el consecuente de la segunda”. Con esto se demuestra que el condicional es

transitivo. Ejemplo:

P 1 Si hablas francés entonces viajas a Francia p ® q

P 2 Si viajas a Francia entonces conocerás París q ® r

_______________________________________ _____

C\ Si hablas francés entonces conocerás París \ p ® r

5) Dilema Constructivo (D.C.)

Si tenemos dos premisas condicionales y una tercera es una disyunción compuesta por los antecedentes de las condicionales, podemos concluir con una disyunción teniendo como elementos los dos consecuentes de los condicionales.

Ejemplo

P1 Si el heliocentrismo es verdad entonces los planetas giran alrededor del sol

P2 Si el geocentrismo fue aceptado entonces la tierra era el centro del universo

P2 El heliocentrismo es verdad o el geocentrismo fue aceptado.

C Los planetas giran alrededor del Sol o la tierra es el centro del Universo

Esquema Molecular: (p → q) Ù (r → s) Ù (p Ú r) → (q Ú s)

6) Dilema Destructivo (D.D)

Si se nos presentan dos premisas condicionales y la tercera premisa es una disyunción compuesta por la negación de los dos consecuentes de los condicionales concluimos con la disyunción compuesta por la negación de los antecedentes.

Ejemplo:

P1 Si los racistas tienen razón entonces los negros son inferiores

P2 Si el hombre andino es inferior entonces los blancos son superiores

P3 Los negros no son inferiores o los blancos no son superiores

C Los racistas no tienen razón o el hombre andino no es inferior

Esquema Molecular: (p → q) Ù (r → s) Ù (~q v ~ s) → (~p v ~r)

7) Simplificación (Simp)

Si tenemos una premisa conjuntiva podemos tener dos conclusiones posibles con cada una de las proposiciones componentes:

(p Ù q) → p (p Ù q) → q

Ejemplo: P1 La tierra es un planeta y gira entorno al sol

C La tierra es un planeta

Esquema Molecular: (p Ù q) → p

8) Conjunción (Conj.)

Teniendo dos premisas con una proposición cada una podemos concluir con una conjuntiva de ambas premisas.

Ejemplo: P1 Los peruanos somos americanos

P2 Los franceses son europeos

C Los peruanos son americanos y los franceses son europeos

Esquema Molecular [ ( p Ù q) ] → (p Ù q)

9) Adición (Ad.)

Dada una fórmula puede obtenerse la disyunción de ella en otra

Ejemplo: P1 Argentina es un país sudamericano

C Argentina es un país o una provincia sudamericana

Esquema Molecular p → (p v q)

LÓGICA E INFORMÁTICA

La informática es una técnica que se ocupa del procesamiento de datos con el fin de obtener unos resultados que se presentan de una manera ordenada y fácil de entender.

El procesamiento de datos se efectúa relacionando los datos según unos criterios en los que intervienen principios lógicos y matemáticos.

El instrumento de la informática es el computador electrónico, que es una máquina procesadora de datos. Un computador electrónico consta de un conjunto de circuitos eléctricos. El paso de la corriente eléctrica por estos circuitos puede representar a un proceso lógico.

CIRCUITOS ELÉCTRICOS

La aplicación de la lógica proposicional en la construcción de circuitos eléctricos se debe mayormente a Claudio Shannon, uno de los pioneros en la confección de computadoras. Los circuitos eléctricos están formados por conmutadores o también llamados interruptores o llaves los cuales son estructuras que dejan o no dejan pasar la corriente eléctrica.

Un interruptor puede representar a una variable (reemplazante de una proposición) por ejemplo “p” se graficaría así:

BOMBA DE LUZ

Ahora cuando el interruptor “p” está cerrado y pasa la corriente, esto permitirá, encender la bomba y se adjudicará el valor de verdadero a “p”, pero cuando el interruptor está cubierto y no se enciende la bomba se adjudicará valor falso a la variable “p”.

CIRCUITOS LÓGICOS

REPRESENTACIÓN DE UNA CONJUNCIÓN (p Ù q)

Corresponde cuando el circuito está en serie o en línea, es decir un interruptor después de otro. El gráfico de un circuito en serie es la representación de una conjunción en un circuito eléctrico. Así tenemos lo siguiente:

p Ù q será verdadera si se enciende la bomba

p Ù q será falsa si no se enciende la bomba

Nos damos cuenta que la bomba se enciende solo cuando los interruptores estén cerrados (es decir son verdaderos) pero basta que uno de los dos o los dos estén abiertos (es decir son falsos) para que la bomba se quede apagada.

REPRESENTACIÓN DE UNA DISYUNCIÓN INCLUSIVA (p Ú q)

Los circuitos eléctricos que se adaptan a la disyunción inclusiva son los circuitos en paralelo, estos constan de interruptores que están unidos en una línea y otros en otra línea paralela. Por ejemplo “p Ú q” se representaría:

· p Ú q será verdadera si se enciende la bomba

· p Ú q será falsa si no se enciende la bomba.

Como se puede ver en el circuito anterior la luz de la bomba no se enciende solo si tanto el interruptor “p” y “q” están abiertos, es decir que sean falsos. En caso de que solo este abierto uno de los interruptores se encenderá la bomba porque por la otra línea pasará corriente, igualmente se encenderá si ambos están cerrados y el encendido de la bomba nos indicará que en estos casos la formula es verdadera.

REPRESENTACIÓN DE UNA NEGACIÓN

Al interruptor inverso o negación lo representamos como ~p. El cual representa a su vez a la negación de p.

Si ~ p está cerrado entonces es verdadero, pero si ~ p está abierto entonces será falso.

CIRCUITOS LÓGICOS COMBINADOS

Cualquier fórmula proposicional que tenga sólo los operadores Ù, Ú y ~, pueden constituir un circuito eléctrico. Las fórmulas proposicionales con cualquier otro operador distinto a los mencionados, las transformaremos primero, a otra fórmula equivalente que contenga tan solo los operadores: Ù, Ú y ~

Ejemplos:

Representación de la proposición: p <--/--> q º (p Ù ~q) Ú (q Ù ~p)

1. (p Ù ~q) es una conjunción, por lo tanto da lugar a un circuito en serie.

2. (q Ù ~p) es también una conjunción y por eso está en circuito en serie.

3. (p Ù ~q)Ú (q Ù ~p) es la disyunción de dos proposiciones compuestas.

Por tanto, es un circuito, puesto que hay en él partes en serie y partes en paralelo.

Éste es un circuito compuesto, puesto que hay en él partes en serie y partes en paralelo.

Representación de p Û q º (p Þ q) Ù (q Þ p)

Representamos las proposiciones implicativas en forma de disyunción negando en cada una la primera proposición simple.

p Û q º (p Þ q) Ù (q Þ p) º (~p Ú q) Ù (~q Ú p)

(~p Ú q) es una disyunción por lo que se grafica en circuito en paralelo.
(~q Ú p) también es una disyunción. Da lugar a otro circuito en paralelo.
(~p Ú q) Ù (~q Ú p) es una conjunción de dos disyunciones, por lo tanto da lugar a un circuito en serie de dos circuitos en paralelo.

Al representar “p ® q” debemos saber que existe una equivalencia notable llamada “Definición de Condicional” que nos dice que “p ®q” es equivalente a “~p Ú q”. Por lo tanto “p ® q” se representaría como “~p Ú q” en el circuito eléctrico.Es equivalente a (p ® q) « (~p Ú q)

Si quisiéramos saber como se representaría p « q tendríamos que hallar su equivalente por una equivalencia notable (p « q) « [(p Ù q)] Ú (~pÙ~q)]
Por lo tanto el circuito de p « q sería:

Igualmente si quisiéramos saber como se representaría la disyunción exclusiva p « tendríamos que basarnos en una equivalencia notable:

(p « q)«[(p Ù~q)Ú(~pÙq)]. Por lo tanto el circuito de p«q sería:

LÓGICA PROPOSICIONAL E INFORMÁTICA

LA INFERENCIA

q

PRINCIPIOS LOGICOS TRADICIONALES

EQUIVALENCIAS NOTABLES O TAUTOLÓGICAS

REPRESENTACIÓN DE UNA NEGACIÓN

Comentarios

Acerca de mí