ANALISIS DE SENSIBILIDAD Y PROGRAMACIÓN PARAMÉTRICA
Una vez que
se haya resuelto un PPL, puede ser que uno o varios parámetros de la formulación
original, como los precios unitarios o disponibilidad de los recursos cambien, dando
origen a un nuevo problema" ¿Es necesario en este caso volver a resolver
el problema desde el principio?
La respuesta
es no, el análisis de sensibilidad permite ahorrar interacciones, al resolver
un nuevo problema partiendo de la solución óptima del problema original.
El nuevo
problema puede diferir del original en uno o varios de los siguientes cambios
que pueden ocurrir simultáneamente:
1. Cambio en
el vector b, o sea, cambios en la disponibilidad de recursos-
2. Cambios
en el vector c, o sea, cambios en los precios o costos unitarios
3. Cambios
en la matriz A, o sea, cambios en los coeficientes tecnológicos aij
4, cambios
en el vector X, o sea, cambios en el número de actividades, cuyo nivel debe decidirse.
5. Cambios
en el número de restricciones del sistema lineal a optimizarse.
El análisis
de sensibilidad permite establecer criterios para sostener si la solución
actual sigue siendo óptima cuando se han modificado algunos parámetros del PL.
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS
COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
Mientras un
coeficiente te la función objetivo cae dentro de algún intervalo alrededor de
su valor original (y los demás coeficientes no cambian) la solución óptima
actual sigue siendo óptima. Sin embargo, el valor de la función objetivo
cambia.
Si el
coeficiente de interés no pertenece al intervalo permisible, entonces debe
encontrarse una nueva solución óptima ejecutando el PL desde el inicio.
La parte OBJ
COEFICIENT RANGES de la salida del paquete informático LINDO, da el intervalo
de valores para los valores de la función objetivo.
Costo reducido
Para cualquier
VNB el costo reducido de la variable es la cantidad en la cual hay que mejorar
el coeficiente de la función objetivo de la VNB para que ésta sea VB en alguna solución óptima
para el PL.
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LAS
RESTRICCIONES DEL LADO DERECHO (LD)
El análisis
de sensibilidad se puede aplicar a los cambios del LD de las restricciones (recursos).
Si el valor cambiado
del LD queda entre ros valores de los RTGHTHAND SIDE RANGES dado en la salida
de LINDO, la base actual permanece óptima, y se puede usar el valor del listado
de LINDO para el precio dual de la restricción y determinar como un cambio en
el LD de la restricción modifica el valor de la función objetivo z.
Precio
sombra (DUAL)
Es la proporción
de cambio en el valor de la función objetivo por unidad de incremento en el
valor del LD de una restricción dentro del intervalo de sensibilidad.
Si se
aumenta el LD de la i- ésima restricción
en Δbi, entonces (suponiendo que la base actual permanece óptima)
el nuevo valor óptimo de z para un PL de maximización es:
(Nuevo valor
óptimo de z) = (Valor óptimo anterior de z) + (Precio de
sombra de la restricción i) Δbi.
Para un PPL
de minimización se tiene:
(Nuevo valor
óptimo de z) = (valor óptimo anterior de z) – (Precio de
sombra de la restricción i) Δb¡.
Signos de los precios sombra
Una restricción
≥ tendrá un precio sombra no positivo
Una
restricción ≤ tendrá un precio sombra no negativo
Una
restricción = tendrá un precio sombra positivo, negativo o cero.
Problemas
- Winco vende 4 tipos de productos. En la tabla que sigue se dan los recursos requeridos para producir una unidad de cada producto, y los precios de venta de cada producto. En la actualidad, se dispone de 4600 unidades de materia prima y 5000 horas de trabajo.
Para satisfacer, las demandas de los clientes, hay que producir
exactamente 950 unidades en total. Los clientes exigen que se produzcan por lo
menos 400 unidades del producto 4. Formule PL que se puede usar para maximizar
los ingresos de Winco por las ventas.
Costos y
recursos requeridos para Winco
|
|
PRODUCTO 1
|
PRODUCTO 2
|
PRODUCTO 3
|
PRODUCTO 4
|
|
Materia prima
|
2
|
3
|
4
|
7
|
|
Horas de trabajo
|
3
|
4
|
5
|
5
|
|
Precio de venta ($)
|
4
|
6
|
7
|
8
|
Max 4x1
+6x2 +7x3 + 8x4
ST.
X1 + x2 + x3 + x4 = 950 (Demanda)
X4 > = 400 Demanda de
producto 4)
2x1 + 3x2 + 4x3 +7x4 <= 4600 (Materia prima)
3x1 + 4x2 + 5x3 +6x4 <= 5000 (horas de trabajo)
LP OPTIMUM
FOUND AT STEP 4
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
6650.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 0.000000 1.000000
X2
400.000000 0.000000
X3
150.000000 0.000000
X4
400.000000 0.000000
ROW
SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 3.000000
3) 0.000000 -2.000000
4)
0.000000 1.000000
5)
250.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 4
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT
RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1
4.000000 1.000000 INFINITY
X2
6.000000 0.666667 0.500000
X3
7.000000 1.000000 0.500000
X4
8.000000 2.000000 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS
INCREASE DECREASE
2 950.000000 50.000000 100.000000
3 400.000000 37.500000 125.000000
4 4600.000000 250.000000 150.000000
5 5000.000000 INFINITY 250.000000
El sindicato de trabajadores de la rama automotriz, exige que se
produzcan por lo menos 400 unidades en la fábrica 3. Se dispone de 3300 horas
de trabajo y de 4000 unidades de materia prima para que se distribuyan en las
cuatro fábricas. Formule un PL cuya solución permitirá a Toyota minimizar los
costos de producir 1000 automóviles.
Costos y
requerimientos para producir un automóvil
|
FÁBRICA
|
COSTO
(en miles de
dólares)
|
MANO
DE OBRA
|
MATERIA PRIMA
|
|
1
|
15
|
2
|
3
|
|
2
|
10
|
3
|
4
|
|
3
|
9
|
4
|
5
|
|
4
|
7
|
5
|
6
|
Min 15x1 + 10x2
+ 9x3 + 7x4
St.
X1 +x2+x3+x4
= 1000 (Demanda)
x3 >= 400 (Producción de la fábrica 3)
2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 <= 3300 (Horas de trabajo)
3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 <= 4000 (Materia prima)
LP OPTIMUM
FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
11600.00
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1
400.000000 0.000000
X2
200.000000 0.000000
X3
400.000000 0.000000
X4
0.000000 7.000000
ROW
SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 -30.000000
3) 0.000000 -4.000000
4)
300.000000 0.000000
5)
0.000000 5.000000
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT
RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1
15.000000 INFINITY 3.500000
X2
10.000000 2.000000 INFINITY
X3
9.000000 INFINITY 4.000000
X4
7.000000 INFINITY 7.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 1000.000000 66.666664 100.000000
3 400.000000 100.000000 400.000000
4 3300.000000 INFINITY 300.000000
5 4000.000000 300.000000 200.000000
PREGUNTAS
1.
i) Suponga que Winco aumenta el precio del producto
2 en 50 centavos la unidad. ¿Cuál es la nueva solución óptima para el PL?
ii) Suponga que se aumenta el precio de venta del
producto I en 60 centavos. ¿Cuál es la nueva solución óptima para el PL?
iii) Suponga que se disminuye el precio de
venta del producto 3 en 60 centavos. ¿Cuál es la nueva solución óptima para el
PL?
2.
i)
En
el problema 1 suponga que se debe producir un total de 980 unidades.
Determine el nuevo valor
óptimo de z.
ii)
En
el problema 1 suponga que se dispone de 4500 unidades de materia prima.
¿Cuál es el nuevo valor óptimo
de z? Conteste la misma pregunta si solo se dispone de 4400 unidades de materia
prima.
iii)
En
el problema 2 suponga que se dispone de 4100 unidades de materia prima.
Encuentre el nuevo valor
óptimo de z.
iv)
En
el problema 2 suponga que se debe producir exactamente 950 automóviles. ¿Cuál
es el nuevo valor óptimo de z?
Solución
1.
i) Δc2 = 6 + 0.5 = 6.5, entonces c2 ∈ [6 - 0.5, 6 + 0.6666667]
5.5 ≤ c2 ≤ 6. 6666667
Luego la
solución actual, x1 = 0, x2 = 400, x3 = 150, x4 =
400 sigue siendo solución óptima.
Nuevo valor
óptimo z = 4(9) + 6.5 (400) + 7(150) + 8(400) = $ 6 850 o también:
Nuevo valor
de z = valor original de z + 400(0.5) = 6 650 + 200 = $ 6 850
ii) Δc1 =4 +0.6=4.6, entonces c1 ∈ [4 – Infinito, 4 + 1]
-infinito < c1 ≤ 5
La solución
actual sigue siendo óptima
Nuevo valor
de z = valor original de z + x1(0.6) = $6 656
ii) Δc3 = 7 - 0.6 = 6.40, entonces c3 ∉ [7 - 0.5, 7 + 1]
6.40 ∉ [6.5, 8]
La solución
actual ya no es óptima, hay que volver a resolver el PPL desde el inicio para
obtener la nueva solución óptima.
2.
i) b1 = 980, entonces ¿b1 ∈ [950-100,950+50]?
b1
∈ [850, 1000]
O también Δb1= 980 - 950 = 30. Como el incremento permisible
es 50, entonces la solución actual permanece óptima
Nuevo valor
de z = valor original de z = 6 650 + 3(30) = $6 740
ii) Δb3 = 4500 - 4600 = -100. Como el decremento es de
150, entonces es válida la solución actual. O también 4500 = b3 ∈ [4600 - 150, 4600 + 250]
Nuevo valor
de z = 6 650 - 100(1) = $ 6550
* Si se
dispone de 4400 unidades de materia prima se tiene:
Δb3 = 4400 - 4600 = -200. Como el decremento es de
150 no se puede determinar el nuevo valor de z
iii) Δb4= 4100 - 4000 = 100, Como el incremento es de
300, entonces es válida la solución óptima actual y el precio dual 5
Nuevo valor
de z = 1 1600 - 100(5) = $11 100
iv) Δb1 = 950 – 1000 = -50. Como el decremento
permisible es de 100, el precio sombra es -30 (mil)
Nuevo valor
de z = 11600 – (-50) (-30) = $10100000
Por tanto,
cada unidad de reducción en la demanda (siempre que la base sea óptima)
disminuirá los costos en 30000 dólares
Problema
En el problema
1. ¿Cuál es la cantidad máxima que Winco estaría dispuesto a pagar por unidad
adicional de materia prima?. ¿Por una hora extra de trabajo?
Como el
precio sombra de la restricción de disponibilidad de materia prima es1, una unidad
extra de materia prima aumentará el ingreso total de 1 dólar.
La
restricción de disponibilidad de mano de obra tiene un precio sombra 0. Esto
indica que una hora extra no aumentará las ganancias, puesto que hay holgura de
250 horas adicionales de trabajo.
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CUANDO SU
CAMBIA MÁS DE UN PARÁMETRO.- REGLA DEL 100 %
REGLA DEL 100% PARA CAMBIO DE
COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
Se presentan
dos casos:
Caso 1: Todas
las variables, cuyo coeficiente de la función objetivo cambian tienen costos reducidos diferente de cero
Caso 2: Por
lo menos una variable, cuyo coeficiente de la función objetivo cambia tiene un costo reducido igual a cero.
En el caso 1,
la base la base actual es óptima si y solo si, el coeficiente de la función objetivo
de cada variable queda dentro del intervalo permisible dado en la salida de
LINDO.
Si la base
permanece óptima, los valores de la variable de decisión no cambian lo mismo que
el valor de la función objetivo. Si el coeficiente de la función objetivo de
cualquier variable se encuentra fuera del intervalo permisible, la base actual
ya no será óptima.
Problemas
1. Mi
alimentación requiere que todo lo que coma pertenezca a uno de los cuatro
grupos de alimentos (pastel de chocolate, helado, refrescos y pastel de queso).
Actualmente, se dispone de los siguientes alimentos para el consumo: bizcocho
de chocolate y nueces, helado de chocolate, cola y pastel de queso con piña.
Cada bizcocho cuesta 50 centavos.
Cada bola de
helado cuesta 20 centavos, cada botella de refresco de cola 30 centavos y cada
pieza de pastel de queso de piña 80 centavos. Cada día tengo que ingerir por lo
menos 500 calorías, 6 onzas de chocolate, 10 onzas de azúcar y 8 onzas de grasa.
El contenido nutritivo por unidad de cada elemento se muestra en la tabla que
sigue.
Formule un
modelo lineal que se puede utilizar para satisfacer mis requerimientos alimenticios
diarios a un costo mínimo
Valores nutritivos para la dieta
|
|
CALORIAS
|
CHOCOLATE (onzas)
|
AZÚCAR (onzas)
|
GRASA
(onzas)
|
|
Bizcochos
|
400
|
3
|
2
|
2
|
|
Helado de chocolate (1 bola)
|
200
|
2
|
2
|
4
|
|
Refresco de cola (1 botella)
|
150
|
0
|
4
|
1
|
|
Pastel de queso con piña
|
500
|
0
|
4
|
5
|
Sean
x1 = número
de bizcochos ingeridos diariamente.
x2 = número
de bolas de chocolate ingeridos diariamente.
x3 = número
de botellas de cola tomadas diariamente.
x4 = número
de pieza de pastel de queso con piña ingeridas diariamente.
La salida en
LINDO es:
min 50x1 +
20x2 + 30x3 + 80x4
ST.
400x1 +
200x2 + 150x3 + 500x4 >= 500 (calorías)
3x1 + 2x2 >= 6
(Chocolate)
2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 >= 10 (Azúcar)
2x1 + 4x2 +
x3 + 5x4 >= 8
(Grasa)
LP OPTIMUM
FOUND AT STEP 1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
90.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 0.000000 27.500000
X2 3.000000 0.000000
X3 1.000000 0.000000
X4
0.000000 50.000000
ROW
SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 250.000000 0.000000
3) 0.000000 -2.500000
4) 0.000000 -7.500000
5) 5.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 1
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT
RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF
INCREASE DECREASE
X1
50.000000 INFINITY 27.500000
X2
20.000000 18.333334 5.000000
X3
30.000000 10.000000 30.000000
X4
80.000000 INFINITY 50.000000
RIGHTHAND SIDE
RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS
INCREASE DECREASE
2 500.000000 250.000000 INFINITY
3 6.000000 4.000000 2.857143
4 10.000000 INFINITY 4.000000
5 8.000000 5.000000 INFINITY
En base a
los resultados del modelo, haga el análisis de sensibilidad que se propone:
Ejemplo 1:
Suponga que
el precio de un bizcocho aumenta hasta 60 centavos, y el precio de una rebanada
de pastel de queso con piña disminuye hasta 50 centavos, ¿seguirá siendo óptima
la base actual? ¿Cuál sería la nueva solución óptima?
Solución:
Como c1 y c4
su costo reducidos son diferentes de cero, entonces se presenta el caso 1
Si c1 = 60,
entonces ¿c1 ∈ [50 - 27.5, 50 + infinito)?
60 = c1 ∈ [22.5,+ infinito)
Si c4 = 50,
entonces ¿c4 ∈ [80 - 50, 80 + infinito)?
50 = c4 ∈ [30, +infinito)
Como los
nuevos precios satisfacen ambas condiciones, entonces la base actual es óptima y
no cambia el valor óptimo de las variables de decisión y el valor de la función
objetivo.
Ejemplo 2:
Si el precio
de un bizcocho baja hasta 40 centavos y el precio de una rebanada de pastel de queso
con piña baja a 25 centavos. ¿Será todavía óptima la base actual?
Solución
Si c1 = 46,
entonces ¿c1∈ [50 - 27.5, 50 + infinito)?
40 = c1 ∈ [22,5, infinito]
Si c4 = 25,
entonces ¿c4 ∈
[80 - 50, 80 + infinito]?
25=c4 ∉ [30, + infinito)
Por tanto,
la base actual ya no es óptima y hay que resolver nuevamente el problema.
Caso 2: Para aplicar la regla del 100% se
tiene:
cj=
coeficiente original de la función objetivo de xj
Δcj = cambio en c¡
Ij = máximo
incremento permisible de cj para el cual la base actual sigue siendo óptima
Dj= máximo
decremento permisible de c¡ para el cual la base actual sigue siendo óptima
Para cada variable
xj definimos la razón rj
Si Δcj ≥ 0, entonces rj = Δ cj/Ij
Si Δcj < 0, entonces rj = -Δ cj/Ij
Si cj
no cambia entonces rj = 0
La regla del
I 00% establece que r1 + r2 +… + rn ≤
1, podemos estar seguros
que la base actual es óptima. Pero, si esta última relación no se cumple,
entonces la base actual puede permanecer óptima o no, no podemos estar seguros.
Si la base actual permanece óptima, los valores de las variables de decisión no
cambian pero Z puede cambiar.
2
La fábrica de
muebles Cansiani produce escritorios, mesas y sillas. La manufactura de cada
tipo de mueble requiere madera y dos tipos de trabajo especializado: acabado y carpintería.
La cantidad que se necesita de cada recurso para fabricar cada tipo de muebles
se da en la tabla que sigue.
Por ahora se
disponen de 48 pies de tabla de madera, 20 horas de acabado y 8 horas de carpintería.
Se vende un escritorio a 60 dólares, una mesa a 30 dólares y una si una silla a 20 dólares.
Cansiani cree que la demanda de escritorios y sillas es ilimitada, pero
se pueden vender a lo más cinco mesas. Cansiani quiere maximizar el ingreso
total porque se han comprado ya los recursos
|
Recurso
|
Escritorio
|
Mesa
|
Silla
|
|
Madera
|
8 pies
|
6 pies
|
1 pie
|
|
Horas terminación
|
4 horas
|
2 horas
|
1.5
horas
|
|
Horas
carpintería
|
2 horas
|
1.5
horas
|
0.5
horas
|
Sea:
X1 = número de escritorios producidos
X2 - número
de mesas producidas
X3r = número
de sillas producidas
La salida en
LINDO es:
max 60x1 + 30x2 + 20x3
st
8x1 + 6x2 + x3
<= 48 Restricción de madera
4x1 + 2X2+ 1.5X3
<= 20 Restricción de acabado
2x1 + 1.5X2 + 0.5X3 <= 8
Restricción de carpintería
x2 <= 5 Demanda limitada de mesas
LP OPTIMUM
FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
280.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 2.000000 0.000000
X2 0.000000 5.000000
X3 8.000000 0.000000
ROW
SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 24.000000 0.000000
3) 0.000000 10.000000
4) 0.000000 10.000000
5) 5.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT
RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1
60.000000 20.000000 4.000000
X2
30.000000 5.000000 INFINITY
X3
20.000000 2.500000 5.000000
RIGHTHAND SIDE
RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2
48.000000 INFINITY 24.000000
3
20.000000 4.000000 4.000000
4
8.000000 2.000000 1.333333
5
5.000000 INFINITY 5.000000
Ejemplo 3:
Supóngase
que el precio de un escritorio aumenta hasta 70 dólares y el precio de una
silla baja hasta 18 dólares. ¿Permanecerá óptima la base actual? ¿Cuál sería el
nuevo valor óptimo de z?
Solución
Como las
variables correspondientes a los costos c1 = 70 y c3 =
18, tienen costos reducidos igual a cero, entonces aplicamos el caso 2:
Si Δc1 = 70 - 60 = 10, I1 = 20 entonc6s r1
= 10/20 = 0.5
Si Δc3 = 18-20= -2, D3 = 5 entonces r3
= -(-2)/5 = 0.4
Luego r1+
r2+ r3 = 0.9 < 1, la base actual sigue siendo óptima. Otra manera de interpretar esto es, si
cambiamos c1 un 50% de lo permitido y cambiamos c3 un 40% de lo permitido, entonces
50% + 40% = 90% < 100% y la base
actual sigue óptima.
Ejemplo 4:
Demuestre
que el precio de las mesas aumenta hasta 33 dólares y el precio disminuye de los
escritorios hasta 50 dólares, entonces la regla der 100% no indica si la base
actual sigue siendo óptima.
Solución
Si Δc1 = 53 - 60 =-2, D1 = 4 entonces r1
= -(-2)/4 = 0.5
Si Δc2 = 33 – 39 = 3, I2 = 5 entonces r2
= 3/5 = 0.6
Luego r1
+ r2 + r2 +r3 =1.1 > 1, la regla de 100% no
proporciona información acerca de si la base la base actual es óptima no.
REGLA DE 100% PARA CAMBIAR LOS LADOS
DERECHOS DE LAS RESTRICCIONES
Hay que
considerar dos casos dependiendo si cualquiera de las restricciones cuyos lados
derechos se cambian, son obligatorias o no.
Definición.-
Una restricción es obligatoria si al reemplazar los valores óptimos del
problema en la restricción se obtiene una igualdad.
Definición.- Una
restricción es obligatoria, si su holgura es cero.
Caso 1: Todas
las restricciones cuyos lados derechos se modifican, no son obligatorias.
Caso 2: Por
lo menos una de las restricciones cuyos lados derechos se modifican, es una
restricción obligatoria
En el caso 1,
la base actual sigue siendo óptima si cada lado derecho queda dentro del
intervalo permisible.
Ejemplo 5:
Suponga que
las calorías necesarias disminuyen hasta 400 y que el requerimiento de grasa
aumenta hasta 10 onzas ¿permanecerá óptima la base actual? ¿Cuál es la nueva solución
óptima?
Solución
Las
restricciones no son obligatorias, entonces aplicamos el caso 1.
b1 = 400,
entonces ¿b1 ∈ (500 - infinito, 500 + 250]?
bi ∈ (- infinito, 750 ]
b4 = 10, entonces ¿b4 ∈ ( 8- infinito, 8 + 5]?
b4 ∈ (-infinito, 13]
Por tanto,
la base actual es óptima
Calcule el
valor de la función objetivo en ambos casos (ejercicio)
Ejemplo 6:
Suponga que
disminuye el requerimiento de calorías hasta 400 y que el requerimiento de grasa
aumenta hasta 15 onzas ¿Permanece óptima la base actual?
Solución
Como b4 =
15, entonces ¿b4 ∈ (8 - infinito, 8 + 5)?
15 = b4 ∉ (-infinito, 13]
Por tanto,
la base actual ya no es óptima.
Para el caso
2: Sean
bj = lado
derecho actual de la j-ésima restricción
Δbj = cambio en bj
Ij = máximo
incremento permisible de bj para el cual la base actual sigue siendo óptima
Dj = máximo
reducción permisible de bj para el cual la base actual sigue siendo óptima
Para cada
restricción, calcule rj
Si Δbj ≥ 0, entonces rj =Abj/Ij
Sí Δbj < 0, entonces rj = - Abj / Dj
Si se modifica
solamente el lado derecho de la j-ésima restricción, la base actual es óptima si
rj ≤ 1
La regla del
100% afirma que si r1 + r2 +.....+ rn ≤ 1, podemos estar seguros que la base
actual es óptima. Pero, si esta última relación no se cumple, entonces la base
actual puede permanecer óptima o no. No se puede asegurar nada.
Ejemplo 7:
Supóngase
que se dispone de 27 horas de acabado y 9 de carpintería. ¿Permanecerá óptima
la base actual?
Solución
Si Δb1 = 0, entonces r1 = 0
Si Δb2 = 22 - 29 = 2, I2= 4 entones r2 = 2/4 = 0.5
Si Δb3 = 9 – 8 = 1, I3 = 2 entonces r3 =1/2 = 0.5
Luego r1 + r2
+ r3 = 1, la base actual es óptima.
Ejemplo 8:
Suponga que
se aumenta la cantidad necesaria de chocolate hasta 8 onzas, y que se reduce el
azúcar hasta 7 onzas. ¿Qué ocurre con la solución actual?
Solución:
Si Ab1 = b4
=0, entonces r1 = r4 = O
Si Δb2 = 8 -6 = 2, I = 4,
entonces r2 = 2/4 = 0.5
Si Δb3 = 7-10 = -3, D3 = 4
entonces r4 = -(-3)/4 = 0.75
Luego r1 + r2
+ r3 = 1.25 > 1, la regla del 100% no
indica si la base actual es
óptima o no.
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