PROGRAMACIÓN LINEAL ( PLANEAMIENTO DE PROBLEMA )
Se usa el
término lineal para describir una
relación entre dos o más variables que son directamente proporcionales. Por
ejemplo, un aumento del 5% del número de horas de trabajo directo, producirá el
mismo porcentaje de aumento en el resultado.
Se tiene una
relación matemática que es lineal, tanto para la función objetivo como las restricciones.
El término programación implica utilizar ciertas técnicas matemáticas para llegar
a la mejor solución, empleando recursos limitados de la empresa
En lugar de
programación podría usarse la palabra cómputo, porque significa calcular alguna
incógnita con una serie de ecuaciones o desigualdades, en ciertas condiciones
que se expresan matemáticamente.
- Programación Lineal, para un matemático. podría definir la como de solución de problemas en la que una función objetivo debe optimizarse bajo ciertas restricciones.
- Para un economista la programación lineal es un método para la asignación de recursos limitados en forma tal que satisfaga las leyes de la oferta y la demanda de los productos de la empresa.
CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE
PROGRAMACIÓN LINEAL (PPL)
1. Una función
objetivo bien definida que puede maximizar las ganancias o minimizar los costos
usando una cantidad limitada de recursos.
2. En un
PPL., debe ser posible escoger una solución que satisfaga la función objetivo.
3. Las
ecuaciones y desigualdades deben describir el problema en forma lineal. La
función objetivo y restricciones deben ser lineales.
4. Las
variables del problema deben interrelacionarse.
5. Los
recursos en un PPL son limitados.
PLANEAMIENTO DE PROBLEMAS
Uno de los
pasos más importantes en los PPL es identificar y después formular el problema
de decisión o sea construir un modelo matemático del problema. La construcción de
modelos matemáticos es lo más difícil por lo que constituye un arte que solo se
mejora con la práctica continua.
Después de
formular correctamente el modelo Ud., deseará obtener una solución esto implica
hacer uso de técnicas apropiada para el tipo de problema que serían estudiadas
en el desarrollo del curso.
En la
formulación de un modelo de un PPL siga los siguientes pasos.
1. Identificación de las variables de
decisión.
El primer
paso en la formulación del problema es identificar las variables de decisión.
Los valores
de éstas variables, una vez determinadas proporcionan la solución del problema.
Las pautas
generales para identificar las variables de decisión son:
- ¿Qué elementos afectan a los costos y/o ganancias, es decir, al objetivo del problema?
- ¿Qué elementos puede elegir y/o controlar libremente?
- ¿Qué decisiones tiene que tomar?
- ¿Qué valores, una vez determinadas, constituyen una solución para el problema?
Póngase en la
posición de alguien que tiene que implementar su solución, y luego pregúntese
que información requiere.
2. Identificación de los datos del
problema.
La finalidad
de resolver un problema es proporcionar los valores reales para las variables
de decisión que ha identificado. Se necesita tener cierta información para determinar
esos valores.
La necesidad
de los datos se hace evidente cuando desarrolla el modero. Si no tiene la suficiente
información, tendrá que solicitarlo en coordinación con todas las personas que
se encuentran involucradas en el problema cuyo modelo matemático se está construyendo.
3. Identificación de la función objetivo
El siguiente
paso es determinar el objetivo global en forma matemática usando las variables
de decisión definidas y los datos conocidos del problema. Para la creación de la
función objetivo, siga los pasos:
- Enuncie el objetivo en forma verbal
- Siempre que sea apropiado, descomponga el objetivo en una suma resta, y/o producto de términos individuales.
- Expresar los términos individuales usando las variables de decisión.
4. Identificación de las
restricciones
Si su
objetivo es maximizar las ganancias, mientras más grandes sean los valores de
las variables de decisión será mayor la ganancia. Pero el mundo real pone un límite
en los valores que puede asignar a las variables de decisión éstas son las limitaciones
o restricciones económicas del problema que necesita tener en cuenta. Para construirlas
restricciones siga los pasos:
- Expresar las restricciones en forma verbal.
- Cuando es apropiado, descomponga la restricción en una suma diferencia y/o producto de cantidades individuales.
PROBLEMA 1: PLANEAMIENTO DE PRODUCCIÓN
Una fábrica
elabora dos productos industriales: alfa y beta. El departamento de
contabilidad de la empresa ha calculado las contribuciones de cada producto en
10 dólares para el producto alfa y 12 dólares para el producto beta
Cada producto
pasa por 3 departamentos de la fábrica. Los requerimientos para cada producto y el
total del tiempo para cada producto y el total de tiempo disponible en cada
departamento son los siguientes:
HORAS REQUERIDAS
Dpto.
|
Producto Alfa
|
Producto Beta
|
Horas
mensuales disponibles
|
1
|
2
|
3
|
1500
|
2
|
3
|
2
|
1500
|
3
|
1
|
1
|
600
|
- Definición de las variables de decisión
Sea A = número de
unidades del producto alfa
B = número de unidades
del producto beta
- Declaración de la función objetivo
Forma verbal:
El objetivo es maximizar
la contribución total
Descomposición:
Maximizar la contribución
total = Contribución de producto alfa + del producto beta
Expresión matemática:
Max z =10A+ 12B
- Restricciones de horas disponibles
Las horas mensuales disponibles
para producir el producto alfa y beta debe ser como máximo las proporcionadas
en la tabla
2 + 38 ≤
1500 (En el Dpto. 1)
3 + 2B ≤ 1500 (En el Dpto. 2)
A + B ≤ 600 (En el Dpto. 3)
- Restricciones lógicas A, B ≥ O
- El modelo matemático es:
Max z = 10A+ 12B
Sujeto a:
2 + 38 ≤
1500 (En el Dpto. 1)
3 + 2B ≤ 1500 (En el Dpto. 2)
A + B ≤ 600 (En el Dpto. 3)
A, B ≥ O
PROBLEMA 2: DIETA DEL HOSPITAL ALMENARA
El Dpto. de
producción del Hospital Almenara prepara 30 menús de cena, uno para cada día del
mes. Una comida consiste en espagueti, pavo papas, espinacas y pastel de
manzana.
Como
Director der Dpto. de nutrición, usted ha determinado que ésta comida debe proporcionar
63 000 miligramos (mg) de proteínas, 10 (mg) de hierro, 15 de niacina, 1 mg de tiamina
y 50 mg de vitamina C, cada 100 gr de ésta comida proporciona la cantidad de cada
nutriente y grasas indicadas en la tabla que sigue. Para evitar demasiada
cantidad de un tipo de comida no debe incluir en ella más de 300 gr de espagueti,
300 gr de pavo, 200gr de papas, I00 gr de espinacas y 100 g de pastel de
manzana. El Director del Dpto. de Nutrición, desea determinar la composición de
una comida que satisface los requerimientos nutricionales y proporcionar la mínima
cantidad de grasa.
NUTRIENTE
(mg/100 gr)
|
||||||
Proteínas
|
Hierro
|
Tiacina
|
Tiamina
|
Vitamina
|
Grasa
|
|
Espagueti
|
5 000
|
1.1
|
1.4
|
0.18
|
0.0
|
5 000
|
Pavo
|
29300
|
1.8
|
5.4
|
0.06
|
0.0
|
5 000
|
Papas
|
5 300
|
0.5
|
0,9
|
0.06
|
10.0
|
7 900
|
Espinacas
|
3 000
|
2.2
|
0.5
|
0.07
|
28.0
|
300
|
Pastel de manzana
|
4 000
|
1.2
|
0.6
|
0.15
|
03.0
|
14 300
|
- Definición de variables de decisión
Sea spag = número de 100
gr de espagueti a incluir en la dieta
Pavo = número de 100 gr
de pavo a incluir en la dieta
Papa = número de 100 gr
de papa a incluir en la dieta
Spin = número de 100 gr
de espinaca a incluir en la dieta
Manz = número de 100 gr
de manzana a incluir en la dieta
- Identificación de la función objetivo
Forma verbal
Minimizar el contenido
total de grasa
Descomposición
Contenido total de grasa
= grasa aportada por espagueti + grasa aportada por pavo + grasa aportada por
papas + grasa aportada por espinaca + grasa aportada por pastel de manzana
Expresión matemática
Min z=5000spag + 5000pavo
+ 7900papa + 300spin + 14 300manz
- Identificación de restricciones
1.
Requerimiento de proteínas
La cantidad total de proteínas
en la comida debe ser por lo menos de 63 000mg +5000spag + 29300pavo + 5300papa
+ 3000spin + 4000manz ≥63 000 (proteínas)
En forma análoga para el
resto de nutrientes se tiene
1.1spag+
1.8pavo+0.5papa+2.2spin+1.2manz ≥ 10 (hierro)
1.4spag+
5.4pavo+0.9papa+0.5spin+0.6manz ≥15 (niacina)
0. 18spag + 0.06pavo +
0.06papa + 0.07spin + 0.15marz ≥ 10(tiamina)
10papa+28spin+ 3manz ≥50 (vitamina C)
2.
Restricciones de límite
Estas restricciones
limitan, la cantidad mínima de cada tipo de alimento en la comida, teniendo en
cuenta que las unidades de las variables están en cientos de gramos; se tiene las
restricciones siguientes:
100spg ≤ 300 entonces
Spag ≤ 3
Pavo ≤3
Papa ≤2
Spin ≤1
Manz ≤1
3.
Restricciones Lógicas
Todas las variables son
negativas.
- El modelo matemático es:
Min z = 500spag +
5000pavo + 7900papa + 300spin + 14 300manz
ST.
5000spag + 29300pavo + 5300papa+ 3000spin + 4000manz ≥ 63000
(proteínas)
1.1spag + 1.8pavo+ 0.5papa+2.2spin+
1.2manz ≥ 10 (hierro)
1.4spag+ 5.4pavo+0.9papa+0.5spin+0.6manz≥ 15 (niacina)
0.18spag +
0.06pavo+0.06papa+0.07spin+ 0.15manz ≥10 (tiamina)
10papa+28spin+3manz ≥ 50 (vitamina C)
Spag ≤ 3
Pavo ≤3
Papa ≤2
Spin ≤1
Manz ≤1
spag, pavo, papa, spin,
manz ≥ 0
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